In dieser Arbeit wird für parabolische Differentialgleichungen der Gestalt $u_{t} = f(t,x,u,u_{x},u_{xx})$ das dem ersten Randwertproblem zugeordnete diskrete Problem behandelt. Dabei werden allgemeine, auch mehrstufige Differenzenverfahren angewandt und Bedingungen angegeben, unter welchen die Lösung des diskreten Problems gegen die exakte Lösung konvergiert. 1.1 Das erste Randwertproblem.$^{1)}$ [.] Es sei G ein offenes, beschränktes und zusammenhängendes Gebiet der t,x-Ebene. Mit $\partial G$ bezeichnen wir den Rand und mit G die abgeschlossene Hülle von G. Es ser: $U_{\delta} (t, x) = \lbrace ( \overline{t}, \overline{x}) \vert \overline{t} < t und (\overline{t} - t)^{2} + (\overline{x} - x)^{2} < \delta^{2} \rbrace$ // (1.1) $G_{p} = \lbrace (t,x) \vert (t,x) \epsilon \overline{G} und \exists \delta$ , so dass $U_{\delta} (t,x) < G \rbrace$ // $R_{p} = \overline{G} - G_{p}$ // $U_{\delta} (t,x)$ wird die untere Halbumgebung des Punktes (t,x) genannt. Wie in [12a] ist $G_{p}$ durch alle Punkte aus $\overline{G}$ definiert, die eine ganz in G enthaltene untere Halbumgebung besitzen. Die parabolische Differentialgleichung wird nun auf $G_{p}$ betrachtet und auf $R_{p}$ die Randbedingung vorgeschrieben. Dabei soll der Index p darauf hinweisen, dass es sich bei $G_{p}$ um "Inneres" und bei $R_{p}$ um den "Rand" der parabolischen Aufgabe handelt. Für das folgende wollen wir stets annehmen, dass die Projektion von $\overline{G}$ auf die t-Achse das Intervall [O,T] ergibt. Wir bezeichnen mit $R^{n}$ den n-dimensionalen Raum der reellen Zahlen. Es sei $M \le R^{3}$. Die Funktion f(t,x,s,s',s") sei auf der Menge D(f) = $G_{p}$ X M definiert und in s" schwach monoton wachsend, d.h. für alle $(t,x,s,s',\check{s}")$, (t,x,s,s',s") $\epsilon$ D(f) gelte: f(t,x,s,s',$\check{s}$") $\le$ (f(t,x,s,s', s"), falls $\check{s}"$ $\le$ s". R sei die Klasse aller Funktionen f(t,x,s,s', s"), die diese Eigenschaften besitzen. Die Funktionsklasse $\partial$(f) erklären wir dann durch (1.2) $\partial(f) = \lbrace u \vert u: ...