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Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich ausgehend von einem Steuerungsproblem allgemeiner Art insbesondere mit einer linear-quadratischen Aufgabe optimaler Steuerung mit unendlichem Zeithorizont. Mit Hilfe der theoretischen Grundlagen konnte die Existenz einer Lösung für den betrachteten Aufgabentyp sichergestellt und durch Verifizierung des Pontrjaginschen Maximumprinzips ein optimaler Steuerprozess für ein konkret herangezogenes Regulatorproblem ermittelt werden. Besonders zu beachten ist, dass alle Resultate auf einen unendlichen Betrachtungszeitraum bezogen sind und deshalb vor allem der gewählte Integraltyp und die zu verwendenden gewichteten Funktionenräume von entscheidender Bedeutung sind. Mit dem Ziel eine Pseudospektralmethode zu entwickeln, wurden die Ideen von Garg, Hager und Rao studiert. Im Rahmen der Bearbeitung stellte sich heraus, dass es für die zugrunde liegende Aufgabenstellung geeigneter erscheint, notwendige Optimalitätskriterien für die Diskretisierung heranzuziehen. Im Ergebnis entstand eine Methode, welche die Grundlage für eine Implementierung in Matlab bildete. Die ermittelten numerischen Resultate lieferten in einem geeignet gewählten Parameterbereich zufriedenstellende Ergebnisse. Dennoch gibt es verschiedene Ideen für eine Verbesserung, insbesondere im Bezug auf die Ermittlung der numerischen Lösung. Das herangezogene Gleichungssystem, welches durch die vorgestellte Koeffizientenmatrix B bestimmt ist, liefert eine sehr schlechte Konditionszahl. Aufgrund dessen war es zunächst nicht möglich, die Auswertung mit MATLAB für mehr als zwölf Kollokationspunkte durchzuführen. In diesem Fall wurden die numerischen Ergebnisse aufgrund der schlecht konditionierten Matrix unbrauchbar. Eine Möglichkeit für die Verbesserung der Konditionszahl besteht in der Prä- bzw. Vorkonditionierung. Die Grundidee dabei ist, das Gleichungssystem beispielsweise durch Links- oder Rechtsmultiplikation mit einer geeigneten Matrix so zu verändern, dass das modifizierte System über bessere Lösbarkeitseigenschaften verfügt. Kann dies erreicht werden, so könnte die Approximation für eine höhere Anzahl an Stützstellen untersucht werden, um der Vermutung, eine möglichst exakte Näherung für n → ∞ zu erreichen, nachzugehen. Hieraus ergibt sich die Frage nach dem Konvergenzverhalten, welche einen weiteren Ansatzpunkt für die zukünftige Auseinandersetzung mit der vorliegenden Thematik darstellt. Weiterhin sollte beachtet werden, dass für das konkret vorgegebene Steuerungsproblem ein hinreichend großer Steuerbereich zur Verfügung stand. Folglich liefert die Maximierungsbedingung keine Randlösungen. Offen bleibt bisher, wie die numerische Lösungsmethode angepasst werden kann, um solche Fälle (z.B. bang-singuläre Struktur oder bang-bang-Struktur) zu berücksichtigen. Auch wenn die in der Arbeit entwickelte Lösungsmethode gute numerische Ergebnisse hervorbringt, ist die Betrachtung der Vorgehensweise von Garg, Hager & Rao in [7] interessant. Es stellt sich die Frage, welcher optimale Steuerprozess den KKT-Bedingungen genügen würde und wie gut die numerischen Ergebnisse in Vergleich zu der in der Arbeit ermittelten numerischen Lösung sind. Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass die entwickelte Pseudospektralmethode eine gute Grundlage darstellt, um darauf aufbauend auch für eine höhere Anzahl an Kollokationspunkten verwertbare, gute Approximationsergebnisse erzielen zu können.